在數(shù)學(xué)典籍《孫子算經(jīng)》中有一個(gè)流傳很廣的經(jīng)典問題，被后人稱為“物不知數(shù)”問題：“有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”意思是說：有一堆物體不知道有幾個(gè)。如果三個(gè)三個(gè)分組，最后會(huì)剩下2個(gè);如果五個(gè)五個(gè)分組，最后會(huì)剩下3個(gè);如果七個(gè)七個(gè)分組，最后會(huì)剩下2個(gè)。問這些物體一共有幾個(gè)?解答這樣的問題其實(shí)就需要用到“中國剩余定理”，“中國剩余定理”到底是何方神圣?

一、基本模型：

一個(gè)數(shù)除以a余x，除以b余y，除以c余z，求滿足該條件的最小數(shù)。

二、特殊模型：

1.余同加余

如果兩個(gè)除式的被除數(shù)相同，余數(shù)相同，那么這個(gè)被除數(shù)的值等于兩個(gè)除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)加上余數(shù)。例如x÷3余1，x÷4余1，則x=12n+1(12是3和4 的最小公倍數(shù))。

2.和同加和

如果兩個(gè)除式的被除數(shù)相同，除數(shù)和余數(shù)的和相同，那么這個(gè)被除數(shù)的值等于兩個(gè)除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)加上除數(shù)和余數(shù)的和。例如x÷3余2，x÷4余1，則x=12n+5(12是3和4的最小公倍數(shù))。

3.差同減差

如果兩個(gè)除式的被除數(shù)相同，除數(shù)和余數(shù)的差相同，那么這個(gè)被除數(shù)的值等于兩個(gè)除數(shù)的最小公倍數(shù)減去除數(shù)和余數(shù)的差。例如x÷3余1，x除4余2，則x=12n-2(12是3和4的最小公倍數(shù))。

三、方法：逐步滿足法

解題步驟：先滿足一個(gè)條件，再滿足另一個(gè)條件，直到滿足所有的條件。

【例題1】：一個(gè)數(shù)，除以5余1，除以3余2，求這個(gè)數(shù)是多少?

滿足除以5余1的數(shù)，可以表示為5n+1，從小到大依次為1,6,11,16， 21，26，……，然后再去看第二個(gè)條件是除以3余2，所以在這些數(shù)當(dāng)中滿足條件的最小的數(shù)是11，所以滿足題目當(dāng)中兩個(gè)條件的數(shù)就可以表示成15n+11(15為3和5的最小公倍數(shù))。

【例題2】：一個(gè)三位數(shù)的自然數(shù)P滿足，除以11余4，除以7余3，除以3余2，則符合條件的自然數(shù)P有多少個(gè)?

滿足除以11余4的數(shù)，可以表示為11n+4，從小到大依次為：4，15， 26，37，48，59，70，……，然后再去看第二個(gè)條件是除以7余3，所以在這些數(shù)當(dāng)中滿足條件的最小的數(shù)是59，則同時(shí)滿足除以11余4，除以7余3的數(shù)可以表示為77n+59(77為7和11的最小公倍數(shù))，將滿足條件的數(shù)從小到大羅列依次為：59,136,213,290， 367，……，然后再看第三個(gè)條件需滿足除以3余2，所以滿足條件的最小的數(shù)是59，則同時(shí)滿足三個(gè)條件的數(shù)可以表示為231n+59(231為3、7、11的最小公倍數(shù))，則符合條件的三位數(shù)為：290(n=1時(shí)),521(n=2時(shí)),752(n=3時(shí)),983(n=4時(shí)),所以符合條件的自然數(shù)P共有4個(gè)。

中國剩余定理，你學(xué)會(huì)了嗎?

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