不定方程屬于方程的一種，也是數(shù)量關系中一個常見的考點，但是不定方程的解法卻異于之前見到的常規(guī)方程，所以很多同學遇到不定方程覺得無從下手，今天來給大家分享一下不定方程的解法。

一、不定方程定義

不定方程其實是方程的一種，所以要滿足方程的要素，既要含有未知數(shù)又要存在等式，因此不定方程的定義是未知數(shù)的個數(shù)大于方程的個數(shù)，而考試中常見的不定方程是兩個未知數(shù)，一個方程，用字母表示不定方程的通項為ax+by=c(a，b均不為0)。通過觀察通項發(fā)現(xiàn)并不能用常規(guī)的解一元一次方程的方法來解，因此下面來介紹不定方程的解法。

二、不定方程解法

不定方程異于常規(guī)方程，所以不定方程的解可能有多種情況，同時不定方程的解法也不止一種，下面我們來一一介紹。第一種解法為代入排除法：當通過審題可以列出一個不定方程并且要求其中的一個或者兩個未知數(shù)，那么所求的未知數(shù)其實就在選項中，則可以將選項中的數(shù)代到不定方程中，如果滿足那就是正確答案。因此總結一下，當直接求解不定方程中的一個或者兩個未知數(shù)時可以選擇代入排除法來解不定方程。當然，使用代入排除法一方面有點浪費時間，另一方面如果題目讓我們所求的是不定方程中所涉及的兩個未知數(shù)的和或者差，這時采用代入排除法是不好做的，所以下面來介紹第二種解法尾數(shù)法：尾數(shù)法的意思就是通過觀察每一個式子的尾數(shù)從而推出未知數(shù)的解的尾數(shù)�？赡苡型瑢W會有疑惑，有的式子尾數(shù)有太多種可能了怎么去確定呢?所以尾數(shù)法不是解所有的不定方程都能用，而是要滿足它的應用條件，就是當不定方程中的x或者y前面的系數(shù)是5的倍數(shù)才可以用尾數(shù)法來解，因為一個數(shù)是5的倍數(shù)尾數(shù)只有兩種可能(5或者0)，這樣尾數(shù)就確定了，再通過判斷另外一個式子的尾數(shù)就可以解出其中的一個未知數(shù)的尾數(shù)，通過尾數(shù)反推出未知數(shù)的值。如果不滿足尾數(shù)法的條件怎么辦?不怕，我們還有第三種解法倍數(shù)法：倍數(shù)法的意思為當不定方程中涉及的三個式子ax、by和c中其中有兩個是某一個數(shù)的倍數(shù)，那么剩下的另外一個式子也是這個數(shù)的倍數(shù)，涉及的這個倍數(shù)我們稱之為公因子，這就說明不是所有的不定方程都可以用倍數(shù)法來解，也需要滿足它的應用條件，即三個式子中需要出現(xiàn)公因子。例如3x+7y=15這個不定方程中，3x為3的倍數(shù)，15也是3的倍數(shù)，那么3就是我們所找的公共的倍數(shù)，這時可以推出7y整體也是3的倍數(shù)，而7不是3的倍數(shù)，所以y為3的倍數(shù)，y就可能為3、6、9等數(shù)，然后再結合題目的一些限定條件就可以確定y的值，從而解出x，這就是倍數(shù)法的應用。當然，如果不定方程中不存在公因子，倍數(shù)法就無法使用了，這時我們還有一種方法，就是我們的第四種解法奇偶性：這種方法不像尾數(shù)法和倍數(shù)法有一定的限定條件，而是只要我們能夠判定出一個式子的奇偶性即可解出答案，奇偶性解不定方程應用的結論為奇反偶同，即如果兩個數(shù)的和為奇數(shù)，那么這兩個數(shù)的奇偶性相反，即一個奇數(shù)和一個偶數(shù);如果兩個數(shù)的和為偶數(shù)，那么這兩個數(shù)的奇偶性相同，即這兩個數(shù)同為奇數(shù)或者同為偶數(shù)。確定出奇偶性也可以結合選項選出答案。不定方程的解法介紹完了，遇到不定方程的時候應該使用哪種方法呢?選擇的原則為根據(jù)方法的限定條件選擇相應的方法即可，當然有的題目也有多種解法，下面我們結合例題來應用一下這四種方法。

三、例題精講

【例1】辦公室工作人員使用紅、藍兩種顏色的文件袋裝29份相同的文件。每個紅色文件袋可以裝7份文件，每個藍色文件袋可以裝4份文件。要使每個文件袋都恰好裝滿，需要紅色、藍色文件袋的數(shù)量分別為( )個。

A.1，6 B.2，4

C.3，2 D.4，1

【答案】C

【解析】第一步，本題考查方程與不等式。第二步，設紅、藍文件袋數(shù)量分別為x、y個，由恰好“裝滿”，可得7x+4y=29。可依次代入選項：代入A選項，7×1+4×6≠29，排除;同理，排除B;代入C選項，7×3+4×2=29，符合題意�；蚋鶕�(jù)奇偶特性，7x必為奇數(shù)，排除B、D，代入A選項不符合題意，排除A。因此，選擇C選項。

【例2】有271位游客欲乘大、小兩種客車旅游，已知大客車有37個座位，小客車有20個座位。為保證每位游客均有座位，且車上沒有空座位，則需要大客車的輛數(shù)是( )。

A.1輛 B.3輛

C.2輛 D.4輛

【答案】B

【解析】第一步，標記量化關系“且”。第二步，設大客車x輛、小客車y輛，根據(jù)每位游客均有座位“且”車上沒空座位，可得37x+20y=271，因為20y的尾數(shù)為0，所以37x的尾數(shù)為1，x的尾數(shù)為3。因此，選擇B選項。

【例3】某會務組租了20多輛車將2220名參會者從酒店接到活動現(xiàn)場。大車每次能送50人，小車每次能送36人，所有車輛送2趟，且所有車輛均滿員，正好送完，則大車比小車( )。

A.多5輛 B.多2輛

C.少2輛 D.少5輛

【答案】A

【解析】第一步，本題考查不定方程問題，用倍數(shù)法解題。

第二步，根據(jù)20多輛車將2220人，滿載2趟正好送完，設大車有x輛，小車有y輛，由題意有2x×50+2y×36=2220，將此不定方程化簡得：25x+18y=555，通過觀察25是5的倍數(shù)，555也是5的倍數(shù)，因此18y也是5的倍數(shù)，可知y也是5的倍數(shù)。當y=5時，x不是正整數(shù)，排除;y=10時，x=15，符合車輛總數(shù)20多輛的條件，所以大車比小車多15-10=5輛。因此，選擇A選項。

【例4】某單位向希望工程捐款，其中部門領導每人捐50元，普通員工每人捐20元，某部門所有人員共捐款320元。已知該部門總人數(shù)超過10人，問該部門可能有幾名領導?( )

A.1 B.2

C.3 D.4

【答案】B

【解析】第一步，標記量化關系“共”“超過”。第二步，設領導有x名，員工有y名，根據(jù)“共”捐款320元，有50x+20y=320，化簡得5x+2y=32，2y和32是偶數(shù)，故5x為偶數(shù)，即x為偶數(shù)，排除A、C。代入B選項，解得y=11，x+y=13，“超過”了10人，排除。因此，選擇B選項。

通過以上題目相信大家已經(jīng)對不定方程的解法有所掌握，后期當我們遇到不定方程的題目時，只要將題目特征和方法要求相匹配就可以找到對應的解題方法，以后不定方程的題目應該做起來就得心應手了。

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