容斥問題是數(shù)量考試中較為基礎(chǔ)，相對簡單的一種題型，有固定公式和套路，這部分題目相對來說好拿分，建議大家在考試中這部分題目不要舍棄。

那什么是容斥問題呢?比如說，班級共有50人，30人喜歡吃蘋果，35人喜歡吃梨，求兩種水果都愛吃的有多少人?滿足情況A，滿足情況B，兩種情況都滿足，提到“都”或者“都不”這樣的題目，我們一般就可以判定為容斥問題了。容斥問題常考的題型有兩種，兩集合容斥和三集合容斥，下面我們一起來學(xué)習(xí)一下。

一、兩集合容斥：

總情況數(shù)=A+B-AB+都不滿足的情況數(shù)

【例1】運(yùn)動會上100名運(yùn)動員排成一列，從左向右依次編號為1~100，選出編號為3的倍數(shù)的運(yùn)動員參加開幕式隊(duì)列，而編號為5的倍數(shù)的運(yùn)動員參加閉幕式隊(duì)列。問既不參加開幕式又不參加閉幕式隊(duì)列的運(yùn)動員有多少人?

A. 46​

B. 47

C. 53​

D. 54

【解析】第一步，標(biāo)記題目中出現(xiàn)詞語“既不”、“又不”，可以確定這是一道容斥問題;

第二步，編號為3的倍數(shù)的運(yùn)動員有人，即33人;

編號為5的倍數(shù)的運(yùn)動員有人，即20人;

同時是3、5的倍數(shù)的運(yùn)動員(15的倍數(shù))有人，即6人。

第三步，設(shè)“既不”參加開幕式“又不”參加閉幕式隊(duì)列的運(yùn)動員有x人，根據(jù)兩集合容斥公式，可得100=33+20-6+x，解得x=53。因此，選擇C選項(xiàng)。

二、三集合容斥

標(biāo)準(zhǔn)型：總數(shù)=A+B+C-AB-AC-BC+ABC+都不滿足的情況數(shù)

當(dāng)題目中出現(xiàn)既滿足情況A又滿足情況B，既滿足情況B又滿足情況C，既滿足情況A又滿足情況C，出現(xiàn)類似這樣的字眼便可以確定為三集合容斥標(biāo)準(zhǔn)型題目了，具體如何應(yīng)用我們來看下面這道題目。

【例2】有關(guān)部門對120種抽樣食品進(jìn)行化驗(yàn)分析，結(jié)果顯示，抗氧化劑達(dá)標(biāo)的有68種，防腐劑達(dá)標(biāo)的有77種，漂白劑達(dá)標(biāo)的有59種，抗氧化劑和防腐劑都達(dá)標(biāo)的有54種，防腐劑和漂白劑都達(dá)標(biāo)的有43種，抗氧化劑和漂白劑都達(dá)標(biāo)的有35種，三種食品添加劑都達(dá)標(biāo)的有30種，那么三種食品添加劑都不達(dá)標(biāo)的有多少種?

A. 14

B. 15

C. 16

D. 17

E. 18

F. 19

G. 20

H. 21

【解析】第一步，標(biāo)記題目中出現(xiàn)詞語“都”、“都不”，可以確定這是一道容斥問題，屬于三集合容斥標(biāo)準(zhǔn)型類，用公式法解題。

第二步，按照三集合容斥標(biāo)準(zhǔn)型公式，直接設(shè)三種食品添加劑都不達(dá)標(biāo)的為x種，列出方程：68+77+59-54-43-35+30+x=120，解得x=18，可用尾數(shù)法計(jì)算。因此，選擇E選項(xiàng)。

以上這兩種相對來說是較為基礎(chǔ)的題型，除此之外容斥問題還會考察非標(biāo)準(zhǔn)型的容斥題目，那什么是三集合標(biāo)準(zhǔn)型題目，什么是三集合非標(biāo)準(zhǔn)型題目，具體如何判別二者之間有什么聯(lián)系，又有何區(qū)別，值得大家思考和學(xué)習(xí)。要想熟練掌握容斥問題以及數(shù)量關(guān)系，大家可以選擇華圖教育線下課程或者選擇華圖在線的線上課程，系統(tǒng)地學(xué)習(xí)來提升自己的成績。

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